Lekcja • Matematyka
Lekcja 5. Sprowadzanie do wspólnego mianownika
Przygotowanie do dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach.
Po co jest ta lekcja
Do tej pory nauczyliśmy się skracać i rozszerzać ułamki.
Teraz użyjemy tej umiejętności w bardzo konkretnym celu: chcemy zapisać dwa lub więcej ułamków tak, żeby miały ten sam mianownik.
To jest konieczne przed:
- dodawaniem ułamków o różnych mianownikach
- odejmowaniem ułamków o różnych mianownikach
- porównywaniem niektórych ułamków w wygodniejszej postaci
Co znaczy wspólny mianownik
Spójrz na dwa ułamki:
$$\frac{1}{2} \qquad \text{oraz} \qquad \frac{3}{4}$$
Nie mają tego samego mianownika, więc jeden opisuje połówki, a drugi ćwiartki.
Żeby łatwo je porównywać albo dodawać, dobrze jest zapisać oba w tych samych częściach tej samej wielkości.
Najprościej tu wybrać mianownik $4$, bo:
$$\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$$
Wtedy mamy:
$$\frac{2}{4} \qquad \text{oraz} \qquad \frac{3}{4}$$
To właśnie jest sprowadzenie do wspólnego mianownika.
Jak znaleźć wspólny mianownik
Szukamy liczby, która jest wielokrotnością obu mianowników.
Przykład:
$$\frac{2}{3} \qquad \text{i} \qquad \frac{1}{6}$$
Wspólnym mianownikiem może być $6$, bo:
- $6$ jest wielokrotnością $3$
- $6$ jest też wielokrotnością $6$
Rozszerzamy więc tylko pierwszy ułamek:
$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$
A drugi zostaje bez zmian:
$$\frac{1}{6} = \frac{1}{6}$$
Otrzymujemy:
$$\frac{4}{6} \qquad \text{i} \qquad \frac{1}{6}$$
Gdy trzeba rozszerzyć oba ułamki
Weźmy teraz:
$$\frac{1}{2} \qquad \text{i} \qquad \frac{2}{3}$$
Tutaj wspólnym mianownikiem może być $6$.
Rozszerzamy oba ułamki:
$$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$$
oraz
$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$
Zatem:
$$\frac{1}{2} \qquad \text{i} \qquad \frac{2}{3}$$
po sprowadzeniu do wspólnego mianownika dają:
$$\frac{3}{6} \qquad \text{i} \qquad \frac{4}{6}$$
Najmniejszy wspólny mianownik
W praktyce najwygodniej wybierać najmniejszy wspólny mianownik, bo wtedy obliczenia są prostsze.
Dla mianowników $4$ i $6$ wspólne wielokrotności to:
Najmniejsza z nich to $12$, więc to najlepszy wybór.
Przykład:
$$\frac{1}{4} \qquad \text{i} \qquad \frac{5}{6}$$
Sprowadzamy do mianownika $12$:
$$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$$
oraz
$$\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$$
Jak myśleć o tym sensownie
Wspólny mianownik nie jest nową liczbą „znikąd”.
To tylko wygodny sposób przepisania tych samych wartości tak, aby wszystkie były wyrażone w tych samych częściach.
Można to czytać tak:
- zamiast połówek i trzecich chcemy mówić jednym językiem, na przykład szóstkami
- zamiast ćwiartek i szóstek chcemy mówić dwunastkami
Typowe błędy
- zmienianie mianownika bez odpowiedniej zmiany licznika
- wybieranie liczby, która nie jest wspólną wielokrotnością obu mianowników
- rozszerzanie tylko jednego z ułamków, gdy oba tego wymagają
- mylenie wspólnego mianownika ze wspólnym licznikiem
Mini-checkpoint po lekcji
Po tej lekcji uczeń powinien umieć:
- rozpoznać, czy dwa ułamki mają już wspólny mianownik
- sprowadzić dwa ułamki do wspólnego mianownika
- dobrać najmniejszy wspólny mianownik w prostych przykładach
- wyjaśnić, dlaczego po sprowadzeniu do wspólnego mianownika wartość ułamka się nie zmienia
Dalsza praca
Przejdź od razu do kolejnego kroku
Po skończeniu sublekcji możesz od razu przejść do testu, ćwiczeń albo następnej części lesson packa.