Lekcja • Matematyka
Lekcja 3. Zamiana liczb mieszanych na ułamki niewłaściwe i odwrotnie
Kluczowy prerequisite do późniejszych działań na liczbach mieszanych.
Po co jest ta lekcja
W poprzedniej lekcji zobaczyliśmy, że liczba mieszana i ułamek niewłaściwy mogą opisywać tę samą wartość.
Teraz uczymy się przechodzić świadomie z jednego zapisu do drugiego.
To jest bardzo ważne, bo:
- przy mnożeniu i dzieleniu liczb mieszanych zwykle wygodniej pracować na ułamkach niewłaściwych
- po obliczeniach często warto wrócić do liczby mieszanej, żeby wynik był czytelniejszy
Z liczby mieszanej do ułamka niewłaściwego
Spójrz na przykład:
$$2\frac{1}{3}$$
To znaczy:
- $2$ pełne całości
- oraz jeszcze $\frac{1}{3}$
Każda całość to w tym zapisie $\frac{3}{3}$.
Więc dwie całe to:
$$2 = \frac{6}{3}$$
Po dodaniu jeszcze $\frac{1}{3}$ dostajemy:
$$2\frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$$
Krótki algorytm
Aby zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy:
- pomnóż część całkowitą przez mianownik
- dodaj licznik
- otrzymany wynik wpisz jako nowy licznik
- mianownik zostaje ten sam
Przykład:
$$3\frac{2}{5}$$
Liczymy:
- $3 \cdot 5 = 15$
- $15 + 2 = 17$
Zatem:
$$3\frac{2}{5} = \frac{17}{5}$$
Dlaczego ten algorytm działa
To nie jest sztuczka do zapamiętania bez sensu.
On wynika z rozumienia liczby mieszanej:
$$a\frac{b}{c} = a + \frac{b}{c}$$
Jeśli część całkowitą $a$ zapiszemy w mianowniku $c$, dostajemy:
$$a = \frac{a \cdot c}{c}$$
więc:
$$a\frac{b}{c} = \frac{a \cdot c}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$$
To właśnie daje regułę:
$$a\frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$$
Z ułamka niewłaściwego do liczby mieszanej
Teraz w drugą stronę.
Weźmy:
$$\frac{11}{4}$$
Pytamy: ile pełnych całości mieści się w $11$ ćwiartkach?
Ponieważ:
$$11 : 4 = 2 \text{ reszty } 3$$
to:
- część całkowita wynosi $2$
- reszta $3$ staje się licznikiem
- mianownik pozostaje $4$
Zatem:
$$\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$$
Krótki algorytm w drugą stronę
Aby zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną:
- podziel licznik przez mianownik
- iloraz wpisz jako część całkowitą
- resztę wpisz jako licznik
- mianownik zostaje ten sam
Przykład:
$$\frac{14}{3}$$
Liczymy:
więc:
$$\frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$$
Kiedy wynik zostaje liczbą całkowitą
Nie każdy ułamek niewłaściwy daje liczbę mieszaną z częścią ułamkową.
Jeśli dzielenie wychodzi bez reszty, otrzymujemy po prostu liczbę całkowitą.
Przykład:
$$\frac{12}{4} = 3$$
Nie zapisujemy wtedy:
$$3\frac{0}{4}$$
bo część ułamkowa nic już nie wnosi.
Typowe błędy
- dodawanie mianownika do licznika zamiast mnożenia części całkowitej przez mianownik
- zmienianie mianownika podczas zamiany liczby mieszanej
- wpisywanie reszty z dzielenia jako nowego mianownika
- zostawianie wyniku w postaci $3\frac{0}{4}$ zamiast $3$
Mini-checkpoint po lekcji
Po tej lekcji uczeń powinien umieć:
- zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy
- zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną
- rozpoznać, kiedy wynik jest po prostu liczbą całkowitą
- wyjaśnić, dlaczego mianownik przy tych zamianach się nie zmienia
Dalsza praca
Przejdź od razu do kolejnego kroku
Po skończeniu sublekcji możesz od razu przejść do testu, ćwiczeń albo następnej części lesson packa.