Lekcja • Matematyka
Lekcja 11. Mnożenie liczb mieszanych
Zamiana zapisu mieszanego, skracanie krzyżowe i ewentualny powrót do liczby mieszanej.
Po co jest ta lekcja
W zadaniach egzaminowych bardzo często nie mnoży się samych „czystych” ułamków, tylko liczby mieszane.
Dlatego trzeba umieć przejść od zapisu:
$$2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{3}{4}$$
do takiej postaci, którą da się policzyć pewnym algorytmem.
Najważniejsza zasada
Liczb mieszanych nie mnożymy od razu w ich pierwotnym zapisie.
Najpierw każdą liczbę mieszaną zamieniamy na ułamek niewłaściwy.
Dopiero potem stosujemy zwykłe mnożenie ułamków.
Krok 1. Zamień liczby mieszane
Spójrz na przykład:
$$2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{3}{4}$$
Zamieniamy każdą liczbę mieszaną:
$$2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}
\qquad
1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$$
Teraz przykład ma postać:
$$\frac{7}{3} \cdot \frac{7}{4}$$
Krok 2. Pomnóż jak zwykłe ułamki
Liczymy:
$$\frac{7}{3} \cdot \frac{7}{4} = \frac{49}{12}$$
Wynik jest poprawny, ale wygodniej zapisać go jeszcze jako liczbę mieszaną:
$$\frac{49}{12} = 4\frac{1}{12}$$
Czyli:
$$2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{3}{4} = 4\frac{1}{12}$$
Pełny algorytm
Przy mnożeniu liczb mieszanych działamy tak:
1. zamieniamy każdą liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy 2. jeśli da się, skracamy przed mnożeniem 3. mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik 4. upraszczamy wynik 5. jeśli trzeba, wracamy do liczby mieszanej
Przykład ze skracaniem przed mnożeniem
Spójrz na przykład:
$$1\frac{1}{2} \cdot 2\frac{1}{4}$$
Zamieniamy:
$$1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}
\qquad
2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$$
Mamy więc:
$$\frac{3}{2} \cdot \frac{9}{4}$$
Tutaj nie ma wygodnego skracania krzyżowego, więc liczymy wprost:
$$\frac{3 \cdot 9}{2 \cdot 4} = \frac{27}{8}$$
Wracamy do liczby mieszanej:
$$\frac{27}{8} = 3\frac{3}{8}$$
Czyli:
$$1\frac{1}{2} \cdot 2\frac{1}{4} = 3\frac{3}{8}$$
Przykład, w którym skracanie bardzo pomaga
Spójrz na przykład:
$$3\frac{1}{2} \cdot 1\frac{1}{5}$$
Zamieniamy:
$$3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}
\qquad
1\frac{1}{5} = \frac{6}{5}$$
Teraz mamy:
$$\frac{7}{2} \cdot \frac{6}{5}$$
Możemy skrócić $6$ z $2$:
$$\frac{7}{1} \cdot \frac{3}{5}$$
Teraz liczymy:
$$\frac{7 \cdot 3}{1 \cdot 5} = \frac{21}{5} = 4\frac{1}{5}$$
Dlaczego nie warto mieszać metod
Czasem uczniowie próbują:
zostawić jedną liczbę w zapisie mieszanym drugą zamienić na ułamek niewłaściwy potem liczyć „na skróty” To prawie zawsze prowadzi do błędów.
Najbezpieczniej jest przyjąć jedną zasadę:
jeśli w mnożeniu pojawia się liczba mieszana, najpierw zamień wszystkie liczby mieszane na ułamki niewłaściwe.
Typowe błędy
mnożenie części całkowitych i ułamkowych osobno bez uzasadnienia pomijanie zamiany na ułamki niewłaściwe błędy w samej zamianie liczby mieszanej brak skrócenia przed albo po mnożeniu pozostawienie końcowego wyniku w postaci nieskróconej
Mini-checkpoint po lekcji
Po tej lekcji uczeń powinien umieć:
zamienić liczby mieszane na ułamki niewłaściwe przed mnożeniem pomnożyć otrzymane ułamki zastosować skracanie, jeśli jest możliwe wrócić z wyniku do liczby mieszanej rozpoznać typowe błędy w mnożeniu liczb mieszanych
Dalsza praca
Przejdź od razu do kolejnego kroku
Po skończeniu sublekcji możesz od razu przejść do testu, ćwiczeń albo następnej części lesson packa.