Lekcja • Matematyka
Lekcja 9. Mnożenie ułamka przez liczbę naturalną
Pomost między intuicją działania a pełnym algorytmem mnożenia ułamków.
Po co jest ta lekcja
Zanim zaczniemy mnożyć ułamki przez ułamki, warto dobrze zrozumieć prostszy przypadek:
- liczba naturalna razy ułamek
- ułamek razy liczba naturalna
To jest bardzo dobry pomost między intuicją „ile razy bierzemy tę samą część” a pełnym algorytmem mnożenia.
Co oznacza takie mnożenie
Spójrz na przykład:
$$3 \cdot \frac{2}{5}$$
To znaczy:
$$\frac{2}{5} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5}$$
Czyli bierzemy trzy razy ten sam ułamek.
Skoro dodajemy trzy razy po dwie piąte, otrzymujemy:
$$3 \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{5}$$
Dlaczego mnożymy tylko licznik
W wyrażeniu:
$$4 \cdot \frac{3}{7}$$
cały czas liczymy siódme części.
Nie zmienia się rodzaj części, więc mianownik zostaje taki sam.
Zmienia się tylko liczba tych części:
$$4 \cdot \frac{3}{7} = \frac{12}{7}$$
Można to zapamiętać tak:
$$n \cdot \frac{a}{b} = \frac{n \cdot a}{b}$$
Ułamek razy liczba naturalna
Teraz podobny przykład:
$$\frac{3}{8} \cdot 5$$
Wynik jest taki sam jak w zapisie:
$$5 \cdot \frac{3}{8}$$
czyli:
$$\frac{3}{8} \cdot 5 = \frac{15}{8}$$
To dlatego, że w mnożeniu kolejność czynników nie zmienia wyniku.
Gdy wynik jest ułamkiem niewłaściwym
Spójrz na przykład:
$$2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$$
To poprawny wynik, ale często warto zapisać go jeszcze jako liczbę mieszaną:
$$\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$$
Czyli:
$$2 \cdot \frac{4}{3} = 2\frac{2}{3}$$
Gdy wynik można skrócić
Przykład:
$$3 \cdot \frac{2}{9} = \frac{6}{9}$$
Ten wynik da się skrócić:
$$\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$
Zatem:
$$3 \cdot \frac{2}{9} = \frac{2}{3}$$
Intuicja na przykładzie praktycznym
Wyobraź sobie, że jedna porcja ciasta to:
$$\frac{1}{4}$$
blachy.
Jeśli masz $3$ takie porcje, to masz:
$$3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$
całej blachy.
To dobrze pokazuje sens mnożenia ułamka przez liczbę naturalną: powtarzamy tę samą część kilka razy.
Typowe błędy
- mnożenie jednocześnie licznika i mianownika przez liczbę naturalną
- zostawianie nieskróconego wyniku
- brak zamiany ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną, gdy jest to wygodne
- mylenie mnożenia z dodawaniem bez zrozumienia, że chodzi o wielokrotne dodawanie tego samego ułamka
Mini-checkpoint po lekcji
Po tej lekcji uczeń powinien umieć:
- obliczyć liczbę naturalną razy ułamek
- obliczyć ułamek razy liczbę naturalną
- wyjaśnić, dlaczego mianownik zostaje bez zmian
- skrócić wynik końcowy
- zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną, gdy to potrzebne
Dalsza praca
Przejdź od razu do kolejnego kroku
Po skończeniu sublekcji możesz od razu przejść do testu, ćwiczeń albo następnej części lesson packa.