Lekcja • Matematyka
Lekcja 14. Kolejność wykonywania działań z ułamkami
Nawiasy, priorytet mnożenia i dzielenia oraz świadome planowanie pierwszego kroku.
Po co jest ta lekcja
Do tej pory uczyliśmy się pojedynczych działań:
- dodawania
- odejmowania
- mnożenia
- dzielenia
Teraz trzeba nauczyć się jeszcze jednej rzeczy: w jakiej kolejności te działania wykonywać, gdy pojawiają się razem w jednym wyrażeniu.
Bez tego nawet poprawne rachunki mogą dać zły wynik.
Najważniejsza zasada
W wyrażeniach z ułamkami obowiązuje ta sama kolejność działań jak w innych rachunkach:
1. najpierw nawiasy 2. potem mnożenie i dzielenie 3. na końcu dodawanie i odejmowanie
To jest fundament całej tej lekcji.
Gdy w wyrażeniu jest nawias
Spójrz na przykład:
$$\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) \cdot \frac{3}{5}$$
Najpierw trzeba policzyć nawias:
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$$
Dopiero potem mnożymy:
$$\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$$
Czyli:
$$\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{2}$$
Mnożenie przed dodawaniem
Spójrz na wyrażenie:
$$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}$$
Nie wolno najpierw dodawać:
$$\frac{1}{2} + \frac{2}{3}$$
Najpierw trzeba wykonać mnożenie:
$$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$
Teraz całe wyrażenie ma postać:
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$
Dzielenie przed odejmowaniem
Podobnie działa to w takim przykładzie:
$$\frac{5}{6} - \frac{1}{3} : \frac{2}{3}$$
Najpierw dzielenie:
$$\frac{1}{3} : \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$$
Teraz zostaje:
$$\frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$
Działania równorzędne liczymy od lewej do prawej
To bardzo ważny punkt.
Mnożenie i dzielenie mają ten sam priorytet.
Dodawanie i odejmowanie też mają ten sam priorytet.
Jeśli więc w wyrażeniu są tylko działania równorzędne, liczymy od lewej do prawej.
Przykład:
$$\frac{3}{4} : \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$$
Najpierw liczymy od lewej:
$$\frac{3}{4} : \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{3}{2}$$
A dopiero potem:
$$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = 1$$
Nie wolno samodzielnie zmieniać tej kolejności bez uzasadnienia.
Tak samo z dodawaniem i odejmowaniem
Spójrz na:
$$\frac{7}{8} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$$
Najpierw liczymy od lewej:
$$\frac{7}{8} - \frac{1}{4} = \frac{7}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5}{8}$$
A dopiero potem:
$$\frac{5}{8} + \frac{1}{2} = \frac{5}{8} + \frac{4}{8} = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$$
Jak dobrze zacząć dłuższy przykład
Zanim zaczniesz liczyć, warto spojrzeć na wyrażenie i zaznaczyć:
- czy są nawiasy
- gdzie występuje mnożenie lub dzielenie
- które fragmenty można policzyć od razu
Przykład:
$$\frac{1}{3} + \left(\frac{3}{5} - \frac{1}{5}\right) \cdot \frac{3}{2}$$
Najpierw nawias:
$$\frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$$
Potem mnożenie:
$$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{5}$$
Na końcu dodawanie:
$$\frac{1}{3} + \frac{3}{5} = \frac{5}{15} + \frac{9}{15} = \frac{14}{15}$$
Typowe błędy
- dodawanie lub odejmowanie przed wykonaniem mnożenia albo dzielenia
- ignorowanie nawiasu
- złe rozumienie zasady „od lewej do prawej” przy działaniach równorzędnych
- próba liczenia wszystkiego naraz bez rozpisania kroków
Mini-checkpoint po lekcji
Po tej lekcji uczeń powinien umieć:
- wskazać pierwszy krok w wyrażeniu z kilkoma działaniami
- poprawnie liczyć nawiasy przed resztą działań
- wykonać mnożenie i dzielenie przed dodawaniem i odejmowaniem
- liczyć działania równorzędne od lewej do prawej
- rozwiązać krótkie wyrażenie z ułamkami w poprawnej kolejności
Dalsza praca
Przejdź od razu do kolejnego kroku
Po skończeniu sublekcji możesz od razu przejść do testu, ćwiczeń albo następnej części lesson packa.